Modelo Black-Scholes
¿Qué es el modelo Black-Scholes?
El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es un modelo matemático para fijar el precio de un contrato de opciones. En particular, el modelo estima la variación en el tiempo de los instrumentos financieros.
Conclusiones clave
- El modelo de Black-Scholes Merton (BSM) es una ecuación diferencial que se utiliza para resolver los precios de las opciones.
- El modelo de Black-Scholes ganó el premio Nobel de economía.
- El modelo BSM estándar solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas, ya que no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento.
Comprensión del modelo de Black Scholes
El modelo Black-Scholes es uno de los conceptos más importantes de la teoría financiera moderna. Fue desarrollado en 1973 por Fischer Black, Robert Merton y Myron Scholes y todavía se usa ampliamente en la actualidad. Se considera una de las mejores formas de determinar el precio justo de las opciones. El modelo Black-Scholes requiere cinco variables de entrada: el precio de ejercicio de una opción, el precio actual de las acciones, el tiempo hasta el vencimiento, la tasa libre de riesgo y la volatilidad.
También llamado Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Se utiliza para calcular el valor teórico de las opciones utilizando los precios de las acciones actuales, los dividendos esperados, el precio de ejercicio de la opción, las tasas de interés esperadas, el tiempo de vencimiento y la volatilidad esperada.
La ecuación inicial se introdujo en el artículo de 1973 de Black y Scholes, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», publicado en Revista de Economía Política. Black falleció dos años antes de que Scholes y Merton fueran galardonados con el Premio Nobel de Economía de 1997 por su trabajo en la búsqueda de un nuevo método para determinar el valor de los derivados. (El Premio Nobel no se otorga póstumamente; sin embargo, el comité Nobel reconoció el papel de Black en el modelo Black-Scholes).
Black-Scholes postula que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución logarítmica normal de los precios siguiendo un recorrido aleatorio con una deriva y volatilidad constantes. Utilizando este supuesto y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una opción de compra de estilo europeo.
Los datos de entrada de la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones establezcan precios racionales para las opciones que están vendiendo.
Además, el modelo predice que el precio de los activos fuertemente negociados sigue un movimiento browniano geométrico con deriva y volatilidad constantes. Cuando se aplica a una opción sobre acciones, el modelo incorpora la variación constante del precio de la acción, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción.
Supuestos de Black-Scholes
El modelo de Black-Scholes hace ciertas suposiciones:
- La opción es europea y solo se puede ejercer al vencimiento.
- No se pagan dividendos durante la vigencia de la opción.
- Los mercados son eficientes (es decir, los movimientos del mercado no se pueden predecir).
- No hay costos de transacción al comprar la opción.
- La tasa libre de riesgo y la volatilidad del subyacente son conocidas y constantes.
- Los rendimientos del activo subyacente se distribuyen logarítmicamente normalmente.
Si bien el modelo original de Black-Scholes no consideró los efectos de los dividendos pagados durante la vida de la opción, el modelo se adapta con frecuencia para contabilizar los dividendos determinando el valor de la fecha ex-dividendo de la acción subyacente. El modelo también es modificado por muchos creadores de mercado de venta de opciones para tener en cuenta el efecto de las opciones que se pueden ejercer antes de su vencimiento. Alternativamente, las empresas utilizarán un modelo binomial o trinomial o el modelo Bjerksund-Stensland para la fijación de precios de las opciones de estilo estadounidense más comúnmente comercializadas.
Fórmula Black-Scholes
Las matemáticas involucradas en la fórmula son complicadas y pueden intimidar. Afortunadamente, no es necesario que sepas o incluso que comprendas las matemáticas para usar el modelo Black-Scholes en tus propias estrategias. Los operadores de opciones tienen acceso a una variedad de calculadoras de opciones en línea, y muchas de las plataformas comerciales actuales cuentan con herramientas sólidas de análisis de opciones, incluidos indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y generan los valores de precios de las opciones.
La fórmula de la opción de compra de Black-Scholes se calcula multiplicando el precio de las acciones por la función de distribución de probabilidad normal estándar acumulada. A partir de entonces, el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal estándar acumulada se resta del valor resultante del cálculo anterior.
En notación matemática:
C
=
S
t
norte
(
D
1
)
–
K
mi
–
r
t
norte
(
D
2
)
dónde:
D
1
=
l
norte
S
t
K
+
(
r
+
σ
v
2
2
)
t
σ
s
t
y
D
2
=
D
1
–
σ
s
t
dónde:
C
=
Precio de opción de compra
S
=
Precio actual de las acciones (u otro subyacente)
K
=
Precio de ejercicio
r
=
Tasa de interés libre de riesgo
t
=
Tiempo hasta la madurez
norte
=
Una distribución normal
begin {alineado} & C = S_t N (d _1) – K e ^ {- rt} N (d _2) \ & textbf {donde:} \ & d_1 = frac {ln frac {S_t} {K } + (r + frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s sqrt {t}} \ & text {y} \ & d_2 = d _1 – sigma_s sqrt {t} \ & textbf {donde:} \ & C = text {Precio de la opción de compra} \ & S = text {Precio actual de las acciones (u otro subyacente)} \ & K = text {Precio de ejercicio } \ & r = text {Tasa de interés libre de riesgo} \ & t = text {Tiempo hasta el vencimiento} \ & N = text {Una distribución normal} \ end {alineado} C=Stnorte(D1)–Kmi–rtnorte(D2)dónde:D1=σs tlnorteKSt+(r+2σv2) tyD2=D1–σs tdónde:C=Precio de opción de compraS=Precio actual de las acciones (u otro subyacente)K=Precio de ejercicior=Tasa de interés libre de riesgot=Tiempo hasta la madureznorte=Una distribución normal
Sesgo de volatilidad
Black-Scholes asume que los precios de las acciones siguen una distribución logarítmica normal porque los precios de los activos no pueden ser negativos (están delimitados por cero). Esto también se conoce como distribución gaussiana.
A menudo, se observa que los precios de los activos tienen un sesgo hacia la derecha significativo y cierto grado de curtosis (colas gruesas). Esto significa que los movimientos a la baja de alto riesgo a menudo ocurren con más frecuencia en el mercado de lo que predice una distribución normal.
El supuesto de precios logarítmicos normales de los activos subyacentes debería mostrar que las volatilidades implícitas son similares para cada precio de ejercicio según el modelo de Black-Scholes. Sin embargo, desde la caída del mercado de 1987, las volatilidades implícitas para las opciones en el dinero han sido más bajas que las que están más alejadas del dinero o muy adentro del dinero. La razón de este fenómeno es que el mercado está valorando una mayor probabilidad de un movimiento de alta volatilidad a la desventaja en los mercados.
Esto ha llevado a la presencia de un sesgo de volatilidad. Cuando las volatilidades implícitas para opciones con la misma fecha de vencimiento se trazan en un gráfico, se puede ver una sonrisa o una forma sesgada. Por lo tanto, el modelo de Black-Scholes no es eficiente para calcular la volatilidad implícita.
Limitaciones del modelo de Black-Scholes
Como se indicó anteriormente, el modelo Black-Scholes solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos y las tasas libres de riesgo son constantes, pero esto puede no ser cierto en la realidad. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo cual no es el caso porque la volatilidad fluctúa con el nivel de oferta y demanda.
Además, los otros supuestos: que no hay costos de transacción ni impuestos; que la tasa de interés libre de riesgo sea constante para todos los vencimientos; que se permite la venta al descubierto de valores con el uso de los ingresos; y que no existen oportunidades de arbitraje sin riesgo, puede conducir a precios que se desvían del mundo real donde estos factores están presentes.
Preguntas frecuentes
¿Qué hace el modelo Black-Scholes?
Black-Scholes, también conocido como Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Partiendo del supuesto de que los instrumentos, como acciones o contratos de futuros, tendrán una distribución logarítmica normal de precios siguiendo un recorrido aleatorio con deriva y volatilidad constantes, y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una opción de compra al estilo europeo. opción. Lo hace restando el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal estándar acumulada del producto del precio de las acciones y la función de distribución de probabilidad normal estándar acumulada.
¿Cuáles son las entradas para el modelo Black-Scholes?
Los datos de entrada de la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones establezcan precios racionales para las opciones que están vendiendo.
¿Qué suposiciones hace el modelo de Black-Scholes?
El modelo de Black-Scholes hace ciertas suposiciones. El principal de ellos es que la opción es europea y solo se puede ejercer al vencimiento. Otros supuestos son que no se pagan dividendos durante la vida de la opción; los mercados son eficientes (es decir, los movimientos del mercado no se pueden predecir); que no hay costos de transacción en la compra de la opción; que la tasa libre de riesgo y la volatilidad del subyacente sean conocidas y constantes; y que los rendimientos del activo subyacente se distribuyen logarítmicamente normalmente.
¿Cuáles son las limitaciones del modelo Black-Scholes?
El modelo Black-Scholes solo se utiliza para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos y las tasas libres de riesgo son constantes, pero esto puede no ser cierto en la realidad. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo cual no es el caso porque la volatilidad fluctúa con el nivel de oferta y demanda.
Además, los otros supuestos: que no hay costos de transacción ni impuestos; que la tasa de interés libre de riesgo sea constante para todos los vencimientos; que se permite la venta al descubierto de valores con el uso de los ingresos; y que no existen oportunidades de arbitraje sin riesgo, puede conducir a precios que se desvían del mundo real donde estos factores están presentes.
Negro, Scholes, Merton.
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